PERSAMAAN LINEAR

A.    Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius. Beberapa bentuk persamaan linear yaitu:

a.       x +  y = 5 (persamaan linear dua variabel)

b.       x² + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)

c.       p² + q² = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)

d.      2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)

Salah satu contoh penyelesaian persamaan linear:

 Carilah penyelesaian sistem persamaan  x + 2y = 8 dan  2x – y = 6
Jawab  ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8  | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6   | x 1 | –> 2x –    y = 6              –   ………*
5y  = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
x  + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8  | x 1 | –> x + 2y =   8
2x – y = 6   | x 2 | –> 4x – 2y = 12              +     ……*
5x  = 20
x  = 4
masukkan nilai x = 4  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
4  + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4  = 2
HP =  {4, 2}

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dengan menggunakan metode ini, kita harus mengeliminasi/menghilangkan salah satu variabel dengan cara penjumlahan ataupun pengurangan. Contoh soal Tentukan himpunan selesaian dari SPLDV yang memuat persamaan-persamaan 2x + 5y = –3 dan 3x – 2y = 5.

Untuk menentukan selesaiannya, pertama kita harus mengeliminasi salah satu variabelnya. Misalkan kita akan mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut. Koefisien x pada persamaan 1 dan 2 secara berturut-turut adalah 2 dan 3. Sehingga kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut menjadi KPK dari 2 dan 3, yaitu 6, dengan mengalikan persamaan 1 dengan 3 dan persamaan 2 dengan 2.

Dengan cara yang sama, kita dapat mengeliminasi variabel y untuk mendapatkan nilai dari x.

Sehingga diperoleh selesaiannya adalah x = 1 dan y = –1, atau dapat dituliskan sebagai himpunan selesaian Hp = {(1, –1)}.

System persamaan linear dua variable memiliki tiga metode yaitu:

-          Metode eliminasi

-          Metode substitusi

-          Metode grafik

B.       Metode Grafik

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP).

Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan.

Dua macam fungsi Program Linear:

•  Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
•  Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

            Grafik dari persamaan linear dua variabel ax + by = c adalah garis lurus.
Penyelesaian SPLDV ax + by = c
                                 px + qy = r

adalah titik potong antara garis ax + by = c dan garis px + qy = r.

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV 3x + y = 15
                                                                   x + y = 7.

Jawab:
3x + y = 15

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
   3x + 0 = 15
           x = 5.
   Titik potong (5, 0)
2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
   3(0) + y = 15
              y = 15.
   Titik potong (0, 15)
   
   Dalam bentuk tabel
   

x + y = 7

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
   x + 0 = 7
         x = 7.
   Titik potong (7, 0)

Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
0 + y = 7
      y = 7.
Titik potong (0, 7)

Dalam bentuk tabel

Lalu bagaimana cara menggunakan grafik persamaan linear untuk menyelesaikan permasalahan SPLDV? Pada dasarnya, terdapat 4 langkah dalam menyelesaiakan permasalahan SPLDV dengan menggunakan metode grafik. Keempat langkah tersebut adalah,

Langkah 1: Memodelkan informasi yang ada di soal.

Langkah 2: Menentukan dua titik yang dilalui grafik persamaan-persamaan pada SPLDV.

Langkah 3: Menggambar grafik persamaan-persamaan tersebut.

Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut.

Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II yang terjual.

Langkah pertama adalah mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita di atas menjadi model matematika, sehingga membentuk sistem persamaan linear. Misalkan banyak karcis I dan II yang terjual secara berturut-turut adalah x dan y, maka kalimat “Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar,” dapat dimodelkan menjadi,

Sedangkan kalimat, “Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00,”

Langkah kedua, kita cari koordinat dua titik yang dilewati oleh grafik masing-masing persamaan tersebut. Biasanya, dua titik yang dipilih tersebut merupakan titik potong grafik persamaan-persamaan tersebut dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Sehingga grafik persamaan x + y = 500 memotong sumbu-x di (500, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 500).

Sedangkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000 memotong sumbu-x di (406 1/4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 541 2/3).

Langkah ketiga, kita gambarkan grafik persamaan-persamaan tersebut pada koordinat Cartesius. Grafik persamaan-persamaan di atas dapat dilukis dengan memplot titik-titik yang telah kita cari pada koordinat Cartesius kemudian hubungkan titik (500, 0) dan (0, 500) untuk mendapatkan grafik x + y = 500, serta titik (406 1/4, 0) dan (0, 541 2/3) untuk mendapatkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000.

Dari grafik di atas diperoleh bahwa titik potong grafik x + y = 500 dan 8.000x + 6.000y = 3.250.000 adalah (125, 375). Sehingga selesaian dari SPLDV di atas adalah x = 125 dan y = 375.

Sistem persamaan linier dua variabel adalah persamaan- persamaan linier dua variabel yang saling berhubungan dengan variabel-vaiabel  yang sama.
Bentuk umum dari sistem persamaan linier adalah :

a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0

Grafik dari persamaan linear dua variabel ax + by = c adalah garis lurus.
Penyelesaian SPLDV ax + by = c
                                 px + qy = r
adalah titik potong antara garis ax + by = c dan garis px + qy = r.

Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut:

1. tentukan titik potong garis dengan sumbu X, syarat y = 0,

2. tentukan titik potong garis dengan sumbu Y, syarat x = 0,
Langkah (1) dan (2) dapat disederhanakan dalam bentuk tabel sebagai berikut:

3. gambar garis dari setiap persamaan,

4. tentukan titik potong kedua garis, titik potong tersebut adalah penyelesaian SPLDV.

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV 3x + y = 15
                                                                   x + y = 7.
Jawab:
3x + y = 15

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
3x + 0 = 15
        x = 5.
Titik potong (5, 0)

2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
3(0) + y = 15
           y = 15.
Titik potong (0, 15)
Dalam bentuk tabel

x + y = 7

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
x + 0 = 7
      x = 7.
Titik potong (7, 0)

2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
0 + y = 7
      y = 7.
Titik potong (0, 7)

C.      Metode Substitusi

Metode adalah metode yang digunakan dalam ilmu Matematika untuk menyelesaikan suatu persoalan dengan cara menggabungkan persamaan-persamaan yang telah diketahui.

Subtitusi adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel dengan cara menganti salah satu variabel ke persamaan lain. Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesain dari sistem persamaan linier dengan cara subtitusi.

3x + y = 6 dan 4x – 2y = 10

jawab

y = 6 – 3x

ganti nilai y dengan persamaan 6 -3x pada 4x – 2y = 10

4x – 2 (6 – 3x) = 10
4x – (12 – 6x) =10
10x = 22
x = 2,2

nilai x disubtitusikan ke y = 6 – 3x
y = 6 – 3. 2.2
y= 6 – 6,6
y = -0,4

D.       Metode Eliminasi

                Eliminasi adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu unsur atau variabel sehingga variabelnya menjadi satu variabel. Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat samaContoh soal:

Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dengan metode eliminasi!

  2x + 3y = 1 … pers.(1)

  3x +   y = 5 … pers.(2)  

Mengeliminasi x

   2x + 3y = 1  |x3|  6x + 9y = 3

   3x +   y = 5  |x2|  6x + 2y = 10  –

                                    7y  = -7
                                       y = -1
   Mengeliminasi y
   2x + 3y = 1  |x 1|  2x +3y = 1

   3x +  y = 5   |x 3|  9x +3y = 15 –

                                      -7x = -14

                                         x = 2

Jadi, HP = {(2, -1)}

           

E.     Persamaan Ketergantungan Dan Ketidakkonsistenan

            suatu sistem persamaan linier dengan dua persamaan dan dua variabel tidak terdapat penyelesaian (no solution) atau penyelesaian yang jumlahnya tidak terbatas.Apabila kedua persamaan mempunyai kemiringan yang sama,

maka gambarnya akan terdapat dua kemungkinan, yaitu :

1. Kedua garis adalah sejajar dan tidak mempunyai titik potong

sehingga tidak ada penyelesaian. Kedua persamaan ini disebut

sebagai sistem persamaan linier yang tidak konsisten.

2. Kedua garis akan berimpit sehingga penyelesaiannya dalam jumlah

yang tidak terbatas. Kedua persamaan ini disebut senagai sistem

persamaan linier yang tergantung secara linier.

Kedua persamaan yang mempunyai kemiringan yang sama akan

ditunjukkan dalam contoh-contoh berikut ini.

Contoh

2X + 3Y = 7

(2.2)

4X + 6Y = 12

Persamaaan kedua-duanya adalah tidak konsisten, karena kedua persamaan ini mempunyai kemiringan yang sama, tetapi berbeda nilai interceptnya. Jadi, bila digambarkan kedua persamaan ini akan sejajar satu sama lainnya.

Contoh

5X + 2Y = 10

(2.4)

20X + 8Y = 40

Persamaaan kedua-duanya tergantung secara linier, karena kedua persamaan ini mempunyai kemiringan dan nilai intercept yang sama. Jadi, apabila digambarkan kedua persamaan ini akan berimpit satu dengan lainnya.